ZERMELO GAME es un juego en línea que ayuda a comprender y a usar de forma consciente las expresiones todos, al menos uno y ninguno. El objetivo del juego es conseguir el mayor número de puntos posible en un tiempo fijado, respondiendo correctamente a las preguntas que aparecen.

En la página inicial se elige con qué cuantificadores jugar (también se pueden elegir los dos), el entorno (es decir, qué tipo de objetos aparecerán en la pantalla: colores, polígonos, números o sacos), el nivel y el tiempo de la partida. Además, se pueden activar el modo negación y el modo testigo, que veremos más adelante.

Los niveles y los entornos siguen un desarrollo progresivo de las competencias. El entorno polígonos requiere también competencias del bloque espacio y figuras, el entorno números del bloque números, mientras que los entornos colores y sacos se refieren solo al bloque lógica.

• Cuantificador TODOS
  

  El jugador tiene que decidir si todos o no todos los elementos de un conjunto cumplen una propiedad (escrita arriba).

  

En el ejemplo de la figura la respuesta correcta es NO TODOS, porque no todas las bolas del conjunto son verdes.

• Cuantificador AL MENOS UNO

   

  

  El jugador tiene que decidir si al menos uno o ninguno de los elementos de un conjunto cumple una propiedad.

  

En el ejemplo de la figura la respuesta correcta es AL MENOS UNO, porque al menos una de las figuras es un triángulo.

COLORES

En el entorno colores aparecen en la pantalla bolas de color rojo, verde o azul. Las propiedades que aparecen arriba son ROJO, VERDE y AZUL.

POLÍGONOS

NIVEL 1

Los elementos son polígonos (es decir, figuras planas limitadas por segmentos) y las propiedades son TRIÁNGULO, CUADRILÁTERO, PENTÁGONO y HEXÁGONO (no aparecen polígonos de más de 6 lados).

NIVEL 2

En el nivel 2, además de las propiedades del nivel 1, aparece la propiedad EQUILÁTERO. Un polígono es equilátero si tiene todos los lados iguales. Del mismo modo, un polígono no es equilátero si tiene al menos dos lados distintos.
Recordemos que un cuadrilátero equilátero se llama comúnmente rombo (del griego rhómbos, que significa peonza).

NIVEL 3

En el nivel 3, además de las propiedades de los niveles 1 y 2, aparecen las propiedades AL MENOS DOS ÁNGULOS IGUALES, AL MENOS DOS LADOS IGUALES, UN ÁNGULO RECTO y UN ÁNGULO OBTUSO. Las propiedades «un ángulo recto» y «un ángulo obtuso» significan «el polígono tiene al menos un ángulo recto/obtuso»: en el lenguaje, la expresión «al menos uno» muy a menudo se sobrentiende.
Las propiedades «al menos dos ángulos iguales» y «al menos dos lados iguales» solo se refieren a triángulos. Con la clase se observará que las dos propiedades son equivalentes: un triángulo tiene al menos dos ángulos iguales si y solo si tiene al menos dos lados iguales. Un triángulo así se llama comúnmente isósceles (del griego isoskelḗs, donde ísos significa igual y skélos significa pierna).

NIVEL 4

A partir del nivel 4, los botones de respuesta cambian un poco y dan más espacio a los símbolos: en lugar de la expresión todos aparece solo el símbolo ∀, y en lugar de al menos uno solo el símbolo ∃. Recordemos que el símbolo ∀ viene del inglés ALL (es decir, todos), mientras que el símbolo ∃ viene del inglés EXISTS (es decir, existe, al menos uno).

En el nivel 4, además de las propiedades anteriores, aparece la propiedad AL MENOS DOS LADOS PARALELOS.
Para un triángulo es imposible tener dos lados paralelos, mientras que un cuadrilátero con al menos dos lados paralelos se suele llamar trapecio (del griego trapézion, es decir, mesita).

NIVEL 5

El nivel 5 añade las propiedades EQUIÁNGULO y REGULAR. Un polígono es equiángulo cuando tiene todos los ángulos iguales, y regular cuando es a la vez equiángulo y equilátero.
Un cuadrilátero equiángulo se llama comúnmente rectángulo (si un cuadrilátero tiene todos los ángulos iguales, todos sus ángulos son rectos), mientras que un cuadrilátero regular (que es a la vez rectángulo y rombo) se llama comúnmente cuadrado.

NÚMEROS

NIVEL 1

En el nivel 1 de números aparecen los números del 1 al 9 y las propiedades PAR e IMPAR.
Un número es par cuando existe un número que, sumado consigo mismo, da el número de partida. Por ejemplo, 10 es par porque 10 = 5 + 5, y 0 es par porque 0 = 0 + 0. Un número que no es par es im-par. En efecto, en español el prefijo in- (im- delante de p) sirve para negar la palabra que sigue: lo que no es posible es im-posible, quien no es paciente es im-paciente.

NIVEL 2

En el nivel 2, además de las propiedades del nivel 1, aparecen también MAYOR y MENOR. En este caso hay números hasta el 100.

NIVEL 3

En el nivel 3, además de las propiedades anteriores, aparecen también las propiedades DIVISIBLE POR 3, DIVISIBLE POR 4, DIVISIBLE POR 5 y ÚLTIMA CIFRA.

SACOS

En este entorno aparecen por primera vez los cuantificadores alternados: el jugador tiene que considerar frases como «todos los sacos contienen al menos una bola azul» o «al menos un saco tiene todas las bolas azules», es decir, frases con dos cuantificadores.

Consideremos la situación siguiente.

Arriba aparece la propiedad que se refiere a cada saco, ∀ bola, AZUL(bola), que se lee «para toda bola, esa bola es azul» o «todas las bolas son azules». La notación AZUL(bola) es la que se introduce en el itinerario de BUL.
Abajo se pregunta si existe o no un saco con esta propiedad, es decir, un saco que tenga todas las bolas azules. La respuesta es negativa, así que hay que hacer clic en el botón «¬ ∃ SACO».

Como segundo ejemplo, consideremos la situación siguiente.

Arriba aparece la propiedad que se refiere a cada saco, ∃ bola, AZUL(bola), que se lee «existe una bola azul» o «al menos una bola es azul».
Abajo se pregunta si todos o no todos los sacos cumplen esta propiedad, es decir, si todos los sacos contienen al menos una bola azul. La respuesta es negativa, así que hay que hacer clic en el botón «¬ ∀ SACO».

MODO TESTIGO

Si en la página inicial se selecciona el modo testigo, se añade una nueva regla.
Cuando se hace clic en «no todos» o en «al menos uno» (es decir, cuando se da una respuesta existencial), hay que aportar un testigo, es decir, señalar un objeto que demuestre la elección hecha.
En el caso de «no todos», hay que hacer clic en un objeto que no cumpla la propiedad indicada. Por ejemplo, en la figura siguiente, después de hacer clic en «no todos», hay que seleccionar un polígono que no sea un triángulo, en este caso el rectángulo rosa.

Del mismo modo, en el caso de «al menos uno», hay que hacer clic en un objeto que cumpla la propiedad indicada. Por ejemplo, en la figura siguiente, después de hacer clic en «al menos uno», hay que seleccionar un número impar, en este caso 93 o 35.

SACOS Y MODO TESTIGO

El modo testigo en el entorno sacos sigue el mismo principio que antes, pero es más complejo: en este caso se produce un verdadero diálogo entre el jugador y el ordenador. Para entenderlo mejor, veamos un ejemplo.

Si se afirma que en todos los sacos hay al menos una bola azul, entonces, elija el saco que elija el ordenador, hay que ser capaz de encontrar una bola azul en ese saco.

Estos son algunos casos posibles, a modo de ejemplo:

• si se afirma que todos los sacos tienen todas las bolas rojas, no hay que hacer nada (0 clics en total);
• si se afirma que no todos los sacos tienen todas las bolas rojas, hay que hacer clic en un saco con al menos una bola azul y luego en una bola azul (2 clics en total);
• si se afirma que al menos un saco tiene todas las bolas rojas, hay que hacer clic en el saco con todas las bolas rojas (1 clic en total, en el saco);
• si se afirma que todos los sacos tienen al menos una bola roja, hay que hacer clic en una bola roja de un saco elegido por el ordenador (1 clic en total, en una bola).

MODO NEGACIÓN

Si se selecciona el modo negación, arriba aparecerán, además de las propiedades normales, esas mismas propiedades negadas. El símbolo ¬ se lee «no».
Por ejemplo, ser ¬ VERDE significa «no ser verde», es decir, en el juego, rojo o azul. Del mismo modo, ser ¬ PAR significa «no ser par», es decir, impar.
En la situación siguiente se pregunta si al menos una bola no es azul, es decir, si es roja o verde.

La respuesta es claramente afirmativa. Si también se juega con el modo testigo, a continuación se hace clic en una bola roja o verde.

Merece la pena destacar el caso de la figura, que no es sencillo.

En el juego, ser «no pentágono» significa ser triángulo, cuadrilátero o hexágono. Por tanto, en la figura no todos son no pentágonos, porque el polígono amarillo de arriba a la derecha tiene efectivamente 5 lados. Si se juega con el modo testigo, habrá que hacer clic precisamente en el pentágono.