ZERMELO GAME est un jeu en ligne qui aide à comprendre et à utiliser consciemment les expressions tous, au moins un et aucun. Le but du jeu est de marquer le plus de points possible dans un temps donné en répondant correctement aux questions affichées.

Sur la page d'accueil, on choisit avec quels quantificateurs jouer (on peut aussi choisir les deux), l'environnement (c'est-à-dire le type d'objets qui apparaîtront à l'écran : couleurs, polygones, nombres ou sacs), le niveau et le temps de jeu. On peut aussi activer le mode négation et le mode témoin, présentés plus bas.

Les niveaux et les environnements suivent une progression des compétences. L'environnement polygones demande aussi des compétences du domaine espace et figures, l'environnement nombres du domaine nombres, tandis que les environnements couleurs et sacs ne concernent que le domaine logique.

• Quantificateur TOUS
  

  Le joueur doit décider si tous les éléments d'un ensemble ont une certaine propriété (écrite en haut) ou si ce n'est pas le cas pour tous.

  

Dans l'exemple de l'image, la bonne réponse est PAS TOUS, car les boules de l'ensemble ne sont pas toutes vertes.

• Quantificateur AU MOINS UN

   

  

  Le joueur doit décider si au moins un des éléments d'un ensemble a une certaine propriété, ou aucun.

  

Dans l'exemple de l'image, la bonne réponse est AU MOINS UN, car au moins une des figures est un triangle.

COULEURS

Dans l'environnement couleurs, l'écran affiche des boules rouges, vertes ou bleues. Les propriétés affichées en haut sont ROUGE, VERT et BLEU.

POLYGONES

NIVEAU 1

Les éléments sont des polygones (c'est-à-dire des figures planes délimitées par des segments) et les propriétés sont TRIANGLE, QUADRILATÈRE, PENTAGONE et HEXAGONE (les polygones de plus de 6 côtés n'apparaissent pas).

NIVEAU 2

Au niveau 2, en plus des propriétés du niveau 1, apparaît la propriété ÉQUILATÉRAL. Un polygone est équilatéral si tous ses côtés sont égaux. De même, un polygone n'est pas équilatéral s'il a au moins deux côtés différents.
Rappelons qu'un quadrilatère équilatéral s'appelle couramment un losange.

NIVEAU 3

Au niveau 3, en plus des propriétés des niveaux 1 et 2, apparaissent les propriétés AU MOINS DEUX ANGLES ÉGAUX, AU MOINS DEUX CÔTÉS ÉGAUX, UN ANGLE DROIT et UN ANGLE OBTUS. Les propriétés « un angle droit » et « un angle obtus » signifient « le polygone a au moins un angle droit/obtus » : dans le langage courant, « au moins » est très souvent sous-entendu.
Les propriétés « au moins deux angles égaux » et « au moins deux côtés égaux » ne concernent que des triangles. On remarquera avec la classe que les deux propriétés sont équivalentes : un triangle a au moins deux angles égaux si et seulement s'il a au moins deux côtés égaux. Un tel triangle s'appelle couramment isocèle (du grec isoskelḗs, où ísos signifie égal et skélos signifie jambe).

NIVEAU 4

À partir du niveau 4, les boutons de réponse changent légèrement et font plus de place aux symboles : à la place de l'expression tous apparaît seulement le symbole ∀, et à la place de au moins un seulement le symbole ∃. Rappelons que le symbole ∀ vient de l'anglais ALL (c'est-à-dire tous), et le symbole ∃ de l'anglais EXISTS (il existe, au moins un).

Au niveau 4, en plus des propriétés précédentes, apparaît la propriété AU MOINS DEUX CÔTÉS PARALLÈLES.
Un triangle ne peut pas avoir deux côtés parallèles, tandis qu'un quadrilatère qui a au moins deux côtés parallèles s'appelle habituellement un trapèze (du grec trapézion, c'est-à-dire petite table).

NIVEAU 5

Le niveau 5 ajoute les propriétés ÉQUIANGLE et RÉGULIER. Un polygone est équiangle quand tous ses angles sont égaux, et régulier quand il est à la fois équiangle et équilatéral.
Un quadrilatère équiangle s'appelle couramment un rectangle (si tous les angles d'un quadrilatère sont égaux, ce sont tous des angles droits), tandis qu'un quadrilatère régulier (à la fois rectangle et losange) s'appelle couramment un carré.

NOMBRES

NIVEAU 1

Au niveau 1 des nombres, apparaissent les nombres de 1 à 9 et les propriétés PAIR et IMPAIR.
Un nombre est pair quand il existe un nombre qui, ajouté à lui-même, donne le nombre de départ. Par exemple, 10 est pair car 10 = 5 + 5, et 0 est pair car 0 = 0 + 0. Un nombre qui n'est pas pair est im-pair. En effet, en français, le préfixe in- (im- devant un p) sert à nier le mot qui suit : ce qui n'est pas possible est im-possible, qui n'est pas patient est im-patient.

NIVEAU 2

Au niveau 2, en plus des propriétés du niveau 1, apparaissent aussi PLUS GRAND et PLUS PETIT. Les nombres vont ici jusqu'à 100.

NIVEAU 3

Au niveau 3, en plus des propriétés précédentes, apparaissent les propriétés DIVISIBLE PAR 3, DIVISIBLE PAR 4, DIVISIBLE PAR 5 et DERNIER CHIFFRE.

SACS

Dans cet environnement apparaissent pour la première fois les quantificateurs alternés : le joueur doit considérer des phrases comme « tous les sacs contiennent au moins une boule bleue » ou « au moins un sac n'a que des boules bleues », c'est-à-dire des phrases avec deux quantificateurs.

Considérons la situation suivante.

En haut apparaît la propriété qui se rapporte à chaque sac, ∀ boule, BLEUE(boule), à lire « pour toute boule, cette boule est bleue » ou « toutes les boules sont bleues ». La notation BLEUE(boule) est celle introduite dans le parcours BUL.
En bas, on demande s'il existe ou non un sac qui a cette propriété, c'est-à-dire un sac dont toutes les boules sont bleues. La réponse est non : il faut donc cliquer sur le bouton « ¬ ∃ SAC ».

Comme deuxième exemple, considérons la situation suivante.

En haut apparaît la propriété qui se rapporte à chaque sac, ∃ boule, BLEUE(boule), à lire « il existe une boule bleue » ou « au moins une boule est bleue ».
En bas, on demande si tous les sacs ont cette propriété ou non, c'est-à-dire si tous les sacs contiennent au moins une boule bleue. La réponse est non : il faut donc cliquer sur le bouton « ¬ ∀ SAC ».

MODE TÉMOIN

Si l'on sélectionne le mode témoin sur la page d'accueil, une nouvelle règle s'ajoute.
Quand on clique sur « pas tous » ou sur « au moins un » (c'est-à-dire quand on donne une réponse existentielle), il faut fournir un témoin, c'est-à-dire indiquer un objet qui justifie le choix fait.
Après « pas tous », il faut cliquer sur un objet qui n'a pas la propriété indiquée. Par exemple, dans l'image suivante, après avoir cliqué sur « pas tous », il faut sélectionner un polygone qui n'est pas un triangle, ici le rectangle rose.

De même, après « au moins un », il faut cliquer sur un objet qui a la propriété indiquée. Par exemple, dans l'image suivante, après avoir cliqué sur « au moins un », il faut sélectionner un nombre impair, ici 93 ou 35.

SACS ET MODE TÉMOIN

Le mode témoin dans l'environnement sacs suit le même principe, mais il est plus complexe : il s'établit un véritable dialogue entre le joueur et l'ordinateur. Un exemple permet de mieux comprendre.

Si l'on affirme que tous les sacs contiennent au moins une boule bleue, alors, quel que soit le sac choisi par l'ordinateur, on doit être capable d'y trouver une boule bleue.

Voici quelques cas possibles, à titre d'exemple :

• si l'on affirme que tous les sacs n'ont que des boules rouges, il n'y a rien à faire (0 clic au total) ;
• si l'on affirme que les sacs n'ont pas tous que des boules rouges, il faut cliquer sur un sac qui contient au moins une boule bleue, puis sur une boule bleue (2 clics au total) ;
• si l'on affirme qu'au moins un sac n'a que des boules rouges, il faut cliquer sur le sac dont toutes les boules sont rouges (1 clic au total, sur le sac) ;
• si l'on affirme que tous les sacs ont au moins une boule rouge, il faut cliquer sur une boule rouge dans un sac choisi par l'ordinateur (1 clic au total, sur une boule).

MODE NÉGATION

Si l'on sélectionne le mode négation, alors en haut, en plus des propriétés habituelles, apparaissent aussi ces mêmes propriétés niées. Le symbole ¬ se lit « non ».
Par exemple, être ¬ VERT signifie « ne pas être vert », donc, dans le jeu, rouge ou bleu. De même, être ¬ PAIR signifie « ne pas être pair », c'est-à-dire impair.
Dans la situation suivante, on demande si au moins une boule n'est pas bleue, donc rouge ou verte.

La réponse est évidemment oui. Si l'on joue aussi en mode témoin, on clique ensuite sur une boule rouge ou verte.

Le cas de l'image ci-dessous mérite d'être souligné, car il n'est pas simple.

Dans le jeu, être « non pentagone » signifie être un triangle, un quadrilatère ou un hexagone. Sur l'image, tous ne sont donc pas des non-pentagones, car le polygone jaune en haut à droite a bien 5 côtés. Si l'on joue en mode témoin, il faudra cliquer justement sur le pentagone.