OILER Ecole Secondaire

Probabilités et diagrammes

PINGO est un parcours pédagogique destiné au collège pour introduire les probabilités. Les activités tournent autour d'artefacts de manipulation courants : urnes, pièces de monnaie, dés et cartes. Le parcours consolide l'usage des nombres décimaux et favorise une approche des fractions. Il aborde également les paris et les jeux d'argent : nous pensons qu'il est essentiel d'en parler à l'école d'un point de vue mathématique, pour expliquer aux futurs citoyens les cotes et les mécanismes sur lesquels reposent les paris et, par conséquent, comment et pourquoi les jeux d'argent ne sont pas avantageux. En somme, nous pensons qu'un citoyen averti sur le plan mathématique évalue plus facilement les risques liés aux jeux de grattage, au loto, aux paris hippiques, aux machines à sous et à toutes les situations où l'on propose des paris inéquitables.

Fiche Technique

DUREE GLOBALE DU PARCOURS EN MOYENNE: 12 heures

COURS: 6e, 5e et 4e.

Compétences bulletin officiel:
L'élève :

  • analyse et interprète des représentations de données pour en tirer des mesures de dispersion et prendre des décisions ;
  • défend ses convictions en apportant des exemples et des contre-exemples adaptés et en enchaînant des affirmations ; accepte de changer d'avis en reconnaissant les conséquences logiques d'une argumentation correcte ;
  • s'oriente dans les situations d'incertitude (vie quotidienne, jeux…) en évaluant des probabilités.

MÉTHODES:
Le parcours repose sur une approche à la fois quantitative et qualitative des probabilités, qui fait intervenir la notion de fréquence. La psychologie cognitive propose le terme de fréquence naturelle (Hoffrage et al., 2002) pour désigner un rapport qui n'est pas exprimé par des fractions ou des pourcentages, mais décrit par des situations concrètes impliquant un tirage ou un partage, et qui est donc intuitif. L'usage de fréquences naturelles, associé à un matériel pratique et motivant, rend les notions et les contenus probabilistes accessibles aux élèves de l'école primaire (Till et Sproesser, 2020). Cela permet ensuite un passage vers l'abstraction et la notion de fraction.

Le parcours a été conçu par Luigi Bernardi, Dario Domingo.

Aucune activité pour le moment : d'autres arrivent bientôt !

PINGO est un parcours pédagogique destiné au collège pour introduire les probabilités. Les activités tournent autour d'artefacts de manipulation courants : urnes, pièces de monnaie, dés et cartes. Le parcours consolide l'usage des nombres décimaux et favorise une approche des fractions. Il aborde également les paris et les jeux d'argent : nous pensons qu'il est essentiel d'en parler à l'école d'un point de vue mathématique, pour expliquer aux futurs citoyens les cotes et les mécanismes sur lesquels reposent les paris et, par conséquent, comment et pourquoi les jeux d'argent ne sont pas avantageux. En somme, nous pensons qu'un citoyen averti sur le plan mathématique évalue plus facilement les risques liés aux jeux de grattage, au loto, aux paris hippiques, aux machines à sous et à toutes les situations où l'on propose des paris inéquitables.

Aucune activité pour le moment : d'autres arrivent bientôt !

Fiche Technique

DUREE GLOBALE DU PARCOURS EN MOYENNE: 12 heures

COURS: 6e, 5e et 4e.

Compétences bulletin officiel:
L'élève :

  • analyse et interprète des représentations de données pour en tirer des mesures de dispersion et prendre des décisions ;
  • défend ses convictions en apportant des exemples et des contre-exemples adaptés et en enchaînant des affirmations ; accepte de changer d'avis en reconnaissant les conséquences logiques d'une argumentation correcte ;
  • s'oriente dans les situations d'incertitude (vie quotidienne, jeux…) en évaluant des probabilités.

MÉTHODES:
Le parcours repose sur une approche à la fois quantitative et qualitative des probabilités, qui fait intervenir la notion de fréquence. La psychologie cognitive propose le terme de fréquence naturelle (Hoffrage et al., 2002) pour désigner un rapport qui n'est pas exprimé par des fractions ou des pourcentages, mais décrit par des situations concrètes impliquant un tirage ou un partage, et qui est donc intuitif. L'usage de fréquences naturelles, associé à un matériel pratique et motivant, rend les notions et les contenus probabilistes accessibles aux élèves de l'école primaire (Till et Sproesser, 2020). Cela permet ensuite un passage vers l'abstraction et la notion de fraction.

Le parcours a été conçu par Luigi Bernardi, Dario Domingo.

Acharya Pingala

Pingala était un poète et mathématicien indien. On sait peu de choses de lui : il est né en Inde, mais on ignore dans quelle ville. L'une de ses œuvres nous est parvenue, le Chandahśāstra, où se révèlent ses talents de poète et de mathématicien : Pingala y analyse mathématiquement la poésie sanskrite, écrite dans l'ancienne langue de l'Inde. Il s'agit en fait de l'un des premiers traités de combinatoire, complet et clair grâce à ses nombreux exemples. On y trouve les premières idées non seulement de combinatoire, mais aussi d'écriture binaire, de la suite de Fibonacci et de l'usage du zéro. Plus précisément, Pingala étudie l'alternance des syllabes brèves (comme « a ») et des syllabes longues (comme « atà ») : il note 1 les syllabes longues et 0 les brèves, et traduit ainsi un vers en une suite de 0 et de 1. Par exemple, un vers de 6 syllabes dont le son est du type a-a-atà-a-a-atà correspond à 001001. Si un vers a n syllabes, il y a 2n suites possibles, et chacune correspond à l'écriture binaire d'un nombre. C'est aussi pour cela que la fausse monnaie de notre parcours reprend justement les puissances de 2.
Considérons maintenant qu'une syllabe brève B (c'est-à-dire « a ») dure un temps, tandis qu'une syllabe longue L (c'est-à-dire « atà ») dure deux temps. Alors, en un temps, il ne peut y avoir qu'une syllabe brève B (1 possibilité) ; en deux temps, deux syllabes brèves BB ou une syllabe longue L (2 possibilités) ; en trois temps, BBB, BL et LB (3 possibilités) ; en quatre temps, BBBB, LL, BBL, LBB, BLB (5 possibilités). Étonnamment, les nombres de possibilités trouvés (1, 2, 3, 5…) correspondent exactement aux nombres de Fibonacci ; en particulier, chaque nombre est la somme des deux qui le précèdent. Pingala étudie ensuite combien de suites de n syllabes ont un nombre donné k de syllabes brèves, et trouve ce que nous appelons aujourd'hui les coefficients binomiaux, c'est-à-dire les nombres du triangle de Pascal, que les Italiens appellent triangle de Tartaglia et les Indiens triangle de Halayudha, du nom d'un mathématicien du Xe siècle qui écrivit un commentaire du Chandaḥśāstra de Pingala !