OILER Ecole Secondaire

Ensembles, quantificateurs, argumentation

ZERMELO est une séquence destinée à le college conçue pour travailler le raisonnement logique. À travers la description de différentes planches présentant des chiffres, des figures,des animaux et des formes géométriques, nous visons à développer le sens de l’observationdes élèves, ainsi que leur capacité à exprimer et vérifier formellement leur propriétés. Toutau long du parcours, les personnages du chevalier, qui dit toujours la vérité, et du fripon, quiment toujours, joueront un rôle fondamental. En particulier, les mots «tous», «au plus»,«au moins», «aucun» seront soigneusement analysés.
TABLEAUX

Fiche Technique

COURS: 6e, 5e et 4e.

Compétences bulletin officiel:
L'élève :

  • défend ses convictions en apportant des exemples et des contre-exemples adaptés et en enchaînant des affirmations ; accepte de changer d'avis en reconnaissant les conséquences logiques d'une argumentation correcte ;
  • produit des argumentations fondées sur les connaissances théoriques acquises (par exemple, sait utiliser les notions de propriété caractéristique et de définition) ;
  • utilise et interprète le langage mathématique (repère cartésien, formules, équations…) et en saisit le rapport avec le langage naturel.

MÉTHODES:
Le parcours aborde des questions liées à notre façon de nous exprimer et de raisonner. Une grande attention est portée à un usage conscient du langage courant, en particulier des expressions qui ont une valeur logique. La relation entre logique, langage et raisonnement mathématique est essentielle : à tous les niveaux scolaires, il est important d'expliciter les formes de raisonnement et la construction d'un énoncé (Durand-Guerrier, 2021). Il s'agit ici de souligner le rôle des quantificateurs (tous, au moins, au plus, aucun) et de leur négation. Le parcours suggère d'utiliser les symboles correspondants (toujours accompagnés du langage naturel) pour construire avec la classe un langage logico-mathématique commun qui décrit les propriétés des ensembles.

LIENS MULTIDISCIPLINAIRES: français.

Ce parcours a été conçu par Matteo Acclavio, Giulia Balboni, Emmanuel Beffara et Luigi Bernardi.

Aucune activité pour le moment : d'autres arrivent bientôt !

ZERMELO est une séquence destinée à le college conçue pour travailler le raisonnement logique. À travers la description de différentes planches présentant des chiffres, des figures,des animaux et des formes géométriques, nous visons à développer le sens de l’observationdes élèves, ainsi que leur capacité à exprimer et vérifier formellement leur propriétés. Toutau long du parcours, les personnages du chevalier, qui dit toujours la vérité, et du fripon, quiment toujours, joueront un rôle fondamental. En particulier, les mots «tous», «au plus»,«au moins», «aucun» seront soigneusement analysés.
TABLEAUX

Aucune activité pour le moment : d'autres arrivent bientôt !

Fiche Technique

COURS: 6e, 5e et 4e.

Compétences bulletin officiel:
L'élève :

  • défend ses convictions en apportant des exemples et des contre-exemples adaptés et en enchaînant des affirmations ; accepte de changer d'avis en reconnaissant les conséquences logiques d'une argumentation correcte ;
  • produit des argumentations fondées sur les connaissances théoriques acquises (par exemple, sait utiliser les notions de propriété caractéristique et de définition) ;
  • utilise et interprète le langage mathématique (repère cartésien, formules, équations…) et en saisit le rapport avec le langage naturel.

MÉTHODES:
Le parcours aborde des questions liées à notre façon de nous exprimer et de raisonner. Une grande attention est portée à un usage conscient du langage courant, en particulier des expressions qui ont une valeur logique. La relation entre logique, langage et raisonnement mathématique est essentielle : à tous les niveaux scolaires, il est important d'expliciter les formes de raisonnement et la construction d'un énoncé (Durand-Guerrier, 2021). Il s'agit ici de souligner le rôle des quantificateurs (tous, au moins, au plus, aucun) et de leur négation. Le parcours suggère d'utiliser les symboles correspondants (toujours accompagnés du langage naturel) pour construire avec la classe un langage logico-mathématique commun qui décrit les propriétés des ensembles.

LIENS MULTIDISCIPLINAIRES: français.

Ce parcours a été conçu par Matteo Acclavio, Giulia Balboni, Emmanuel Beffara et Luigi Bernardi.

Ernst Zermelo

Ernst Zermelo était un mathématicien et philosophe allemand. Il s'occupa d'abord de physique, puis, après avoir entendu une conférence de David Hilbert, il changea d'avis. Lors de cette conférence de 1900, Hilbert, mathématicien très connu et respecté, présenta vingt-trois problèmes qui méritaient d'être étudiés et approfondis, et dont la solution ferait faire de grands pas en avant aux mathématiques. Beaucoup de ces problèmes ont été résolus depuis, et les autres ont conduit à des développements et à des recherches intéressants. Stimulé par le premier de ces problèmes, Zermelo décida de se consacrer à la théorie des ensembles et à la logique, et finit par formuler l'axiome du choix, l'un des énoncés les plus controversés des mathématiques (même en mathématiques, il y a des énoncés controversés !).

Pour situer l'axiome du choix et ses conséquences dans un cadre clair et rigoureux, Zermelo dut préciser les fondements de la théorie des ensembles. De même que la géométrie repose sur les axiomes d'Euclide, pour être vraiment rigoureuse, la théorie des ensembles doit reposer sur quelques axiomes qui précisent quelles constructions sont permises et lesquelles ne le sont pas. C'est ainsi que Zermelo réussit à surmonter le paradoxe de Russell et d'autres paradoxes qui apparaissent lorsque la théorie des ensembles est étudiée de manière intuitive.